MACAM MACAM BILANGAN MATEMATIKA

MACAM - MACAM BILANGAN MATEMATIKA

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan –bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

1. Bilangan asli adalah bilangan-bilangan yang terdapat pada garis bilangan berikut disebut bilangan asli. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif(integer positif).

{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,..........}

2. Bilangan Cacah adalah Bilangan asli dengan tambahan bilangan 0

{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9........}

3. Bilangan negatif ( integer negatif ) adalah bilangan yang letaknya disebelah kiri nol ( 0 )

Contoh :

-1 , -2, -3, -4, -5,...........

4. Bilangan Bulat adalah bilangan asli, bentuk negatif dari bilangan asli tersebut, dan bilangan 0.

Contoh :

{ ........,-3,-2,-1,0,1,2,3,.........}

5. Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang erupakan rasio (pembagian) dari dua angka ( integer )

Contohnya adalah ¾ , 2/3, ½, 5/4, dll.

Pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilanga rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 } semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

6. Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.

Contoh bilangan irasional adalah. nilai taksiran nilai dari adalah 1,414. juga merupakan bilangan irasional . bilanga tersebut merupakan hasil pembagian dari keliling lingkaran dengan diameter dan taksirannya adalah 3,14.

7. Bilangan imajiner adalah apabilan sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata( dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional ), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner. Bilangan imajiner dinyatakan dengan b i, b e R dan i = atau i² = -1

Bilangan komplek adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner. Bilagan komplek dinyatakan dengan a + bi, a e R , b e R. Contohnya : 3 + 4i, 5 – 7i.

TRANFORMASI GEOMETRI

 TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.

1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
   
   

   Matriks	Perubahan	Perubahan
   é a ù ë bû	(x,y) ® (x+a, y+b)	F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0
   Ket : x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b

   Sifat:
   
   
   • Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
                                                  ë b û
     dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
                                      ë d û                       ë b + d û
     
     
   • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
     
     
     
2. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)
   
   

   Pencerminan terhadap	Matriks	Perubahan Titik	Perubahan fungsi
   sumbu-x	é 1 -0 ù ë 0 -1 û	(x,y) ® (x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(x,-y) = 0
   sumbu -y	é -1 0 ù ë -0 1 û	(x,y) ® (-x,y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,y) = 0
   garis y = x	é 0 1 ù ë 1 0 û	(x,y) ® (y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,x) = 0
   garis y = -x	é -0 -1 ù ë -1 -0 û	(x,y) ® (-y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,-x)= 0

   
   
   Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
   
   
   SIFAT-SIFAT
   
   
   1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
      
      
   2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
      
      • Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
      • Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
        
        
   3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
      
      
   4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
      
      • Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
      • Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
      • Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
        
        
        
3. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
   
   

   rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
   ½ p	é0  -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
   p	é-1  0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
   3/2 p	é0  -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
   q	écosq -sinq ù ësinq  cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

   
   Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
   
   SIFAT-SIFAT
   
   
   1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
      
      
   2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
      
      Catatan:
      
      Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
      
      
      
4. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)
   
   

   Dilatasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
   (0,k)	ék  0ù ë0  kû	(x,y)®(kx,ky)	F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

   
   Ket.:
   
   (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
   
   Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
   a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
   b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
   c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
   
   
   
5. TRANSFORMASI LINIER
   
   Ditentukan oleh matriks éa  bù
                                   ëc  dû
   
   é x' ù = é a b ù é x ù
   ë y' û   ë c d û ë y û
   
   
   é x ù =    1        é a -b ù é x' ù
   ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û 
   
   

   Perubahan Titik	Perubahan Fungsi
   (x,y)®(ax+by, cx+dy)	F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û

   
   Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.